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Réalité ou Fiction ? Je vous livre ici un petit texte mêlant mathématiques et littérature, avec certes plus de mathématiques que de littérature. Lecture tout publique, les gens avec peu de culture mathématique pourront sans doute saisir l'essentiel du sujet (aucun détail trop technique, aucune connaissance requise ô/), ceux avec un peu plus de culture mathématique pourront pointer du doigt mes erreurs (et ça c'est cool).
Les gens, vous connaissez les groupes ?
(en maths :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)
)
Bah, prenez les groupes avec un nombre finis d'éléments, on peut les découper en groupes simples finis (genre de brique fondamentale pour construire les groupes) et les groupes simples finis ça se classe parmis 4 types généraux. Sauf 26 groupes connus qui font exception, aka "qui ne sont pas classés dans les 4 types généraux", les groupes sporadiques. Ce truc, ça s'appelle le "Théorème énorme", en réalité un ensemble de travaux, il a pris 28 ans à être finalisé et s'étale sur une dizaine de milliers de pages, écrites par plus de 100 auteurs.
En gros, pour résumer, on découpe tous les groupes connus en briques, et on montre qu'il n'y a que 4 types de briques, sauf pour 26 groupes qui ne sont pas fait en briques, des exceptions. Ces 26 sont les groupes simples finis sporadiques.
Regardons de plus près les groupes sporadiques, on peut remarquer qu'il y a un groupe particulier, le groupe Monstre.
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Finitesubgroups.svg/440px-Finitesubgroups.svg.png[/img]
( chaque triplet de caractères est un groupe sporadique )
Vous voyez le M tout en haut du gros paquet à gauche ? C'est le groupe Monstre, 20 autres groupes sporadiques dans le paquet en sont des sous-quotients, ceux qui sont reliés au groupe Monstre.
En gros, vous prenez le paquet plein de relations à gauche de l'image, et vous avez une image de l'intérieur du groupe Monstre (quand on fait le quotient des groupes sous-quotients, on obtient le groupe Monstre), et là ça devient très fort.
L'ordre (le nombre d'éléments) du groupe Monstre est 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 (c'est pas des éléments pris au hasard, hein), l'ordre du groupe Monstre une fois décomposé en nombres premiers donne les premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71. Ces nombres premiers sont les nombres premiers dits super-singuliers, avec des propriétés exceptionnelles, et y'en a que 15 : Ce sont ceux-là qui décrivent les limites du groupe Monstre.
Encore plus fort, on construit le groupe monstre comme un groupe de rotations d'un espace à 196 883 dimensions, il a 194 classes de conjugaisons (une classe de conjugaison est l'ensemble des éléments atteints lorsqu'on applique en série un automorphisme intérieur au groupe) et plus globalement il est construit à partir d'un réseau (un réseau est un sous-groupe d'un espace vectoriel euclidien qui répond aux propriétés "je suis discret, on peut trouver un rayon r tel que toute boule de rayon r contient au plus un point" et "je remplis l'espace, on peut trouver un rayon r tel que toute boule de rayon r contient au moins deux points". Pour visualiser un réseau, imaginez les points à coordonnée entière dans |R^n, c'est un réseau), donc le groupe Monstre est quelque chose de vachement "mathématiques discrètes" (aka des points pris un par un, bien différent d'un espace continu).
Mais encore plus fort, le goupe Monstre a des propriétés tellement intéressantes qu'on a crée une théorie à partir de celui-ci, la théorie Moonshine, dont le théorème central est le "Monstrous Moonshine" (littéralement "Monstrueuses balivernes"
, qui établit un lien clé entre les mathématiques discrètes (côté groupe Monstre) et les mathématiques non-discrètes (côté Formes modulaires, une branche reculée de l'analyse complexe, aka l'analyse des fonctions à valeurs complexes, bonjour Mr. Zêta fils à papa Riemann).
En gros, le groupe Monstre, la théorie Mooshine et le théorème Monstrous Moonshine/"Monstrueuses balivernes" forme le pont le plus massif entre tout ce qui est discret (théoriedesnombres/groupes/théorèmeénorme/etc) dans les mathématiques et tout ce qui est non-discret (analyse/analysecomplexes/courbes/etc), une médaille fields a poppé pour avoir démontré la "conjecture Moonshine"... Démonstration qui a utilisé le théorème de "Goddard-Thorn", théorème très utilisé dans...
(Devinez qui s'invite à la fête ? A l'exact endroit où les deux pans des mathématiques forment un pont ?)
La théorie M. Vous connaissez pas ? La théorie M utilise le groupe Monstre comme groupe de symétrie. (aka le groupe des isométries par lequel les éléments restent globalement invariants, en gros pour pécho toutes les symétries qu'un même élément... Quel intérêt ? Avoir les éléments et toutes leurs symétries permet d'avoir la totalité des choses qu'on peut obtenir en bref)
Et c'est quoi la théorie M ? BORDEL O% TU VEUX EN VENIR ?
La théorie M est le dernier édifice théorique construit par la fusion des 5 branches de la MOTHERFUCKA THEORIE DES CORDES.
(sisi, vous savez, la théorie des cordes qui unifie les quatre interactions élémentaires connues, qui décrit la supergravité à 11 dimensions, unifiant la mécanique quantique et la relativité générale, celle-ci)
C'est quand même pas magnifique : La physique de l'unification des 2 grandes théories décrivant la dynamique de notre univers qui aboutit à l'endroit exact du rendez-vous des mathématiciens de la théorie des nombres et du discret avec les mathématiciens de l'analyse et du non-discret, MODAFUCKA IMPOSIBRU §
Et vous voulez le plus fort ? Les nombres premiers super-singuliers, ceux qui décomposent l'ordre du groupe Monstre, ce groupe Monstre qui a notablement un rôle clé dans le fonctionnement de l'univers tout entier, ils ont une propriété toute particulière...
Le plus petit entier composé par les nombres premiers super-singuliers est 1618964990108856390, et vous voulez savoir pourquoi c'est si exceptionnel ?
Ln(1618964990108856390) = 41,9283... ~ 42
Douglas Adams en donnant "la réponse est 42", a fait une erreur de 0.17%.
Pas mal pour un écrivain.
Coïncidence ? Je ne crois pas.
Sevilla aime cet article
posté par Sbirematqui il y a plus de 10 ans , édité par Sevilla il y a plus de 10 ans
Par contre il est assez facile de comprendre ce qu'est le produit de 2 groupes.
Et par extension comment on construit mathématiquement les Rubik's cubes.
En prenant un ensemble de groupes de symétrie et en faisant le produit de tous les éléments.
On va commencer par quelques notions sur les opérations.
Spoiler (Sélectionnez le texte dans le cadre pointillé pour le faire apparaître)
On y a enlevé tout ce qui n'est pas nécessaire à notre propos.
Par exemple on ne dira rien sur la distributivité.
On a même enlevé la commutativité parce qu'un groupe Abélien ferait un bien piètre Rubik's cube. En fait on ne s'intéresse qu'à l'associativité et l'élément neutre (pour faire un monoïde ) auxquels on ajoute la symétrie (pour faire un groupe ).
Quelques propriétés des opérations :
Spoiler (Sélectionnez le texte dans le cadre pointillé pour le faire apparaître)
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Module Operation.
Section operations.
Variable U : Set.
Definition Operation := U -> U -> U.
Variable Op : Operation. (* law *)
Variable e : U. (* neutral *)
Variable S : U -> U. (* symmetric *)
Definition associative : Prop :=
forall x y z: U, Op x (Op y z) = Op (Op x y) z.
Definition left_neutral : Prop :=
forall x: U, Op e x = x.
Definition right_neutral : Prop :=
forall x: U, Op x e = x.
Definition neutral : Prop :=
left_neutral /\ right_neutral.
Definition left_symmetric : Prop :=
forall x: U, Op (S x) x = e.
Definition right_symmetric : Prop :=
forall x: U, Op x (S x) = e.
Definition symmetric : Prop :=
left_symmetric /\ right_symmetric.
End operations.
End Operation.
La définition d'un groupe :
Spoiler (Sélectionnez le texte dans le cadre pointillé pour le faire apparaître)
Module Type Group. Import Operation. Parameter U : Set. Parameter law : Operation U. Parameter unit : U. Parameter inverse : U -> U. Axiom law_associative : associative U law. Axiom unit_neutral : neutral U law unit. Axiom inverse_symmetric : symmetric U law inverse unit. End Group.
Enfin, nous construisons un opérateur qui multiplie 2 groupes G et H pour former un nouveau groupe-produit :
Spoiler (Sélectionnez le texte dans le cadre pointillé pour le faire apparaître)
Module ProductGroup (G H : Group) : Group.
Import Operation.
Record GHU : Set := make {g : G.U; h : H.U}.
Definition U := GHU.
Definition unit := make G.unit H.unit.
Definition law x y := make (G.law x.(g) y.(g)) (H.law x.(h) y.(h)).
Definition inverse x := make (G.inverse x.(g)) (H.inverse x.(h)).
Definition law_associative : associative U law.
Proof.
unfold associative. intros.
unfold law. simpl.
rewrite G.law_associative.
rewrite H.law_associative.
reflexivity.
Qed.
Definition unit_neutral : neutral U law unit.
Proof.
unfold neutral. split.
unfold left_neutral.
intros. unfold law. simpl.
rewrite (proj1 G.unit_neutral).
rewrite (proj1 H.unit_neutral).
dependent inversion x. simpl. reflexivity.
unfold right_neutral.
intros. unfold law. simpl.
rewrite (proj2 G.unit_neutral).
rewrite (proj2 H.unit_neutral).
dependent inversion x. simpl. reflexivity.
Qed.
Definition inverse_symmetric : symmetric U law inverse unit.
Proof.
unfold symmetric. split.
unfold left_symmetric.
intros.
unfold law. unfold inverse. simpl.
rewrite (proj1 G.inverse_symmetric).
rewrite (proj1 H.inverse_symmetric).
reflexivity.
unfold right_symmetric.
intros.
unfold law. unfold inverse. simpl.
rewrite (proj2 G.inverse_symmetric).
rewrite (proj2 H.inverse_symmetric).
reflexivity.
Qed.
End ProductGroup.
Sbirematqui il y a plus de 10 ans
C'est un peu vrai, personne (et y comprit moi) n'arrive à en saisir les implications sur le plan physique, mais il reste remarquable que des gens étudiant des groupes tombent sur un pont vers les mathématiques non-discrètes et la théorie des cordes, qu'il y ait un "noeud" à cet endroit-ci, non ?
SpiceGuid il y a plus de 10 ans
Moi http://arxiv.org/archive/hep-th je n'y entends rien du tout non plus,
je ne suis même pas certain qu'il existe des personnes qui y comprennent quelque chose, je veux dire quant aux implications pour la physique, s'il y en a...
Sbirematqui il y a plus de 10 ans
Non, la correspondance avec le groupe E8, ça c'est encore une autre théorie. (d'ailleurs assez peu prise au sérieux)
Sérieux, ça, l'univers ?
[img]http://static.ddmcdn.com/gif/theory-of-everything-2.jpg[/img]
Il est bien question de la théorie des cordes et pas des bricolages d'Antony Garett avec l'E8, la théorie d'Antony Garett a été construite autour du groupe E8 (apparition à priori des rapports avec l'E8), les rapports de la théorie des cordes avec le groupe Monstre sont apparus à postérioris.
SpiceGuid il y a plus de 10 ans
Je vois.
L'idée originelle vient du physicien/surfeur Antony Garrett Lisi “exceptionally simple theory of everything” qui propose une correspondance entre les 248 symétries du groupe E8 et l'ensemble des (selon lui) 248 (anti-)particules connues (et restant à découvrir).
Sbirematqui il y a plus de 10 ans
Plus ou moins un mélange de wikipédia, de l'article cité en réponse à Ertaï et du très compliqué " The Monster Sporadic Group and a Theory Underlying Superstring Models " qui m'a laissé un peu pantois, n'ayant compris que les mots. ><
SpiceGuid il y a plus de 10 ans , modifié il y a plus de 10 ans
C'est tellement beau que Lewis Caroll aurait pu l'imaginer.
Et alors Trinity dirait à Néo : suis le petit snark blanc !
À ma connaissance il n'existe pas (encore) de Rubik's cube basé sur un groupe sporadique.
Le fait que l'on puisse placer/orienter chaque genre de pièces indépendamment les uns des autres vient de ce que le groupe d'un Rubik's cube est formé par le semi-produit (noté ⋉) de plusieurs groupes élémentaires (ceux isolés, en bas à droite du schéma).
Peux-tu citer ta source pour le lien entre le Monster-group et la M-theory.
Le M semble venir de Membranes .
Witten has since stated that the different interpretations of the M can be a matter of taste for the user, such as magic, mystery, and mother theory. [1] In the TV adaptation of The Elegant Universe , Witten suggests the M as also meaning 'matrix', along with Leonard Susskind guessing it as meaning 'monstrous'.
Donc c'est à ma convenance.
Alors moi j'opte pour
Matroïde
, parce que c'est cool 
Ertaï il y a plus de 10 ans
Ha ha ha, j'ai rien compris mais j'aime particulièrement la conclusion 
Sbirematqui il y a plus de 10 ans
Petit complément, notez que le Guide du Voyageur Intergalactique (H2G2) a été publié la même année (1979) que le calcul de la table des caractères du groupe Monstre, table qui fut la clé de l'analyse des représentations du groupe Monstre.
Encore une coïncidence.
Qu'est-ce qu'on dit à propos des coïncidences ?
Pour ceux qui sont intéressé par quelque chose de plus sérieux sur le sujet, voici le Monstre très vulgarisé par un article en anglais : Hunting a Mathematical Snark
SpiceGuid il y a plus de 10 ans
À noter : un Snark est un un animal imaginaire .
Ou un graphe spécial .
TSG il y a plus de 10 ans
J'étais partis pour poster une photo d'un string, mais j'ai vu ça (une monstrueuse baliverne dans un string), et je me suis dis "nan, ça va pas le faire".
Ertaï il y a plus de 10 ans
Si même TSG se modère pour le hors-sujet, je crois que je peux licencier tous les modérateurs du Refuge
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SpiceGuid il y a plus de 10 ans , modifié il y a plus de 10 ans